PROPIEDADES

 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 

SUMA

Ahora nos dedicaremos al estudio de las propiedades de los números complejos

Relacionadas con la suma de ellos.

La operación suma de números  complejos está basada en la suma de numero  

Reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar

Complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por

Otro lado, como numero  reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro

Numero complejo. Más precisamente

Sean z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i dos números complejos. Entonces la suma de

z1 con z2, denotada por z1 + z2 es el numero  complejo

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i

Es decir, para sumar número   complejos simplemente se suma sus componentes

Correspondientes.

Ejemplo. Para sumar z1 = 3 + 2i con z2 = −8 + 4i hacemos

z1 + z2 = (3 + 2i) + (−8 + 4i) = (3 − 8) + (2 + 4)i

RESTA

Resta de numeros  complejos. La resta o diferencia de dos números  complejos

se realiza restando cada parte por separado. M a precisamente: Sean Z = a + bi yW = c+di dos números complejos, entonces la diferencia o resta entre Z y W viene

dada por

Z − W = (a − c) + (b − d)i

Es decir, para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes.

Ejemplo.

 Sean Z = 4 + 7i y W = 2 + 3i. 

Entonces

Z − W = (4 − 2) + (7 − 3)i = 2 + 4i

Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales

1. Propiedad de Cierre para la suma. Si Z y W son dos números  complejos

entonces tanto Z + W como Z − W son numero complejos.

2. Propiedad asociativa. Si Z, W y U son números  complejos, entonces se

tiene

Z + (W + U) = (Z + W) + U

3. Propiedad Conmutativa. Si Z y U son números complejos, se tiene

Z + U = U + Z

4. Propiedad del elemento neutro. El numero complejo 0 = 0 + 0i, es el

Elemento neutro para la suma. En efecto, si Z = a + bi es cualquier numero 

Complejo se tiene

Z + 0 = (a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = Z

De la misma forma, se puede probar que 0 + Z = Z

5. Propiedad del opuesto. Si Z = a+bi es un numero complejo, el opuesto de

Este es −Z = −a − bi, el cual es otro número  complejo. No ese que el opuesto

Satisface

Z + (−Z) = (−Z) + Z = 0

Usando todas estas propiedades, es posible calcular expresiones complicadas en donde

Aparezcan sumas y restas de números complejos

Ejemplo. Calcule el valor de Z donde

Z = (5 + 12i) + [(10 − 8i) + [(6 + 3i) − (7 + 2i)]]

2.2. SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS 15

Para simplificar esta expresión usamos las propiedades estudiadas. Así pues

Z = (5 + 12i) + [(10 − 8i) + (−1 + i)]

= (5 + 12i) + (9 − 7i)

= 14 + 5i