Formas de representar los numeros Complejos

1. Forma binómica

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores  y  su suma es 

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de  es .

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de  es .

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la forma .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que

, .

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si  es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al único valor  tal que , y se denota 

Se verifica entonces que

.

Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con .

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

,

siempre que .

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si , para , entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que .

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, . 

3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para .

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma .