1. Forma binómica
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a
, de este modo se tiene:
Gráficamente, podemos representar
(y por tanto C) como un plano.
Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.
Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.
Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores
y
su suma es 
Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si
, entonces el módulo de
es
.
El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si
, entonces el conjugado de
es
.
El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.
Es fácil ver que se cumple,
, por tanto podemos expresar el inverso de un número
en la forma
.
En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.
2. Forma polar o módulo-argumento
Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,
donde
es el módulo de
, y donde q es un argumento de
, esto es, q es un ángulo tal que
,
.
NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,
Es claro, por tanto, que si
es un valor particular del argumento de
, entonces
Se denomina argumento principal al único valor
tal que
, y se denota 
Se verifica entonces que
.
Dos números complejos
y
, representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales
, y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir,
, con
.
La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si
, y
, entonces
Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:
,
siempre que
.
Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si
, para
, entonces
Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:
Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que
.
En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo,
.
3. Forma exponencial
Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:
para
.
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene
.
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma
.