Los números complejos ¡¡¡ CONOCELOS ...

LOS NÚMEROS COMPLEJOS SON

Un Numero  Complejo es una expresión del tipo

z = a + bi

Donde a y b son números reales e i es un símbolo,

Este tipo de numero ´ s, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones

de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación

x^2 + x + 1 = 0

no tiene raíces reales. Al tratar de aplicar la fórmula que da la solución de una

Ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión

x =−1 ±√−3/2

la cual no tiene sentido en los números reales. No se puede tener una raíz cuadrada de

un números negativo. Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene

√−3 =√3 ·√−1

luego la solución de este problema es un número  algo misterioso de la forma

x −1  2±√32√−1

¿ Qué significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un número negativo? 

¿Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuación no tiene

Solución?

 La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas

Cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema

Numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro

De este contexto se acepta el símbolo

√−1 como una entidad matemática nueva.

Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números.

Comenzaremos por introducir un nuevo número  o símbolo, denotado por i, el

cual ser a llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición

I ^2 = −1

o bien

i =√−1

Vemos entonces que todo numero  complejo consta de dos partes, o componentes,

Llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.

Así pues, tenemos Re(z) = a e Im(Z) = b.

Ejemplo El siguiente es un numero  complejo

z =√2 +√3i.

Su parte real es √2 y su parte imaginaria es √3.

Ejemplo. El siguiente es un numero complejo

z = 8

Raíces n-ésimas de un número complejo

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado , sea , para un número natural p.

Si , puesto que , es decir, . Por tanto, , y además, , o sea, , para .

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

, para .

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en  cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio .

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de  

Puede verse lo mismo en la siguiente animación:

Formas de representar los numeros Complejos

1. Forma binómica

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores  y  su suma es 

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de  es .

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de  es .

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la forma .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que

, .

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si  es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al único valor  tal que , y se denota 

Se verifica entonces que

.

Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con .

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

,

siempre que .

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si , para , entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que .

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, . 

3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para .

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma .